ฟังก์ชันลอการิทึม Logarithmic Function
จากฟังก์ชันลอการิทึมมีความหมายเหมือนกับ
ดังนั้นกราฟของ
1.กราฟฟังก์ชัน
2.กราฟฟังก์ชัน
เนื่องจาก ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไปทั่วถึง R+
ทำให้เราทราบได้เลยว่า อินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะเป็นฟังก์ชันแน่ ๆ และยังเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R+ ไปทั่วถึง R
ถ้าเราเปลี่ยน x เป็น Y และเปลี่ยน y เป็น x ที่เงื่อนไขของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล จะได้ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือ
จุดกำเนิดของฟังก์ชันลอการิทึม
เนื่องจาก นักคณิตศาสตร์ทั่วไป ไม่นิยม ให้เงื่อนไขของฟังก์ชันใด ๆ อยู่ในรูป
ตัวแปรต้น (x) = กลุ่มของตัวแปรตาม (y) แต่นิยมให้เงื่อนไขอยู่ในรูป
ตัวแปรตาม (y) = กลุ่มตัวแปรต้น (x)
พบว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีเงื่อนไข
ตัวแปรตาม (y) = aตัวแปรต้น (x) ซึ่งอยู่ในรูปแบบที่นิยมอยู่แล้ว
แต่ ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมีเงื่อนไข
ตัวแปรต้น (x) = aตัวแปรตาม (y) เห็นไหมไม่อยู่ในรูปแบบที่นิยม
ดังนั้น นักคณิตศาสตร์จึงอยากจะเปลี่ยนเงื่อนไข ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ใหม่เพื่อให้อยู่ในรูปแบบที่นิยมโดยกำหนดให้เขียน
ข้อตกลง
1.ถูกอ่านออกเสียงว่า “ลอการิทึมเอกซ์ฐานเอ” หรือ “ล็อกเอกซ์ฐานเอ”
2. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสามารถเขียนใหม่ได้เป็น
3. ฟังก์ชันอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ถูกเรียกใหม่ว่า ฟังก์ชันลอการิทึม
ข้อกำหนด
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ
เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
จากที่เราทราบอยู่แล้วว่าฟังก์ชันลอการิทึม กับ ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นอินเวอร์สซึ่งกันและกัน แสดงว่า กราฟของฟัง์ชันทั้งสองจะสมมาตรซึ่งกันและกัน เมื่อเทียบกับเส้นตรง
ดังนั้น จึงได้กราฟของฟังก์ชันลอการิทึมทั้ง 2 ชนิด โดยขึ้นอยู่กับลักษณะของฐานดังตารางต่อไปนี้
|
|---|
กับ
นิยามของลอการิทึม
คุณสมบัติของลอการิทึมนิยามฟังก์ชันลอการิทึม คือ อินเวอรส์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเซียลอยู่ในรูป
Exponential :
Log :
นิยามฟังก์ชันลอการิทึมคือ
จึงสรุปได้ว่า ตัวเลขหลังต้องเป็นจำนวนจริงบวก
ฐานของ
ค่าของ
เนื่องจาก f (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล) เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันและเป็นฟังก์ชัน 1 – 1 ด้วย
คุณสมบัติ 7 ประการของลอการิทึม มีดังนี้
1. สมบัติการบวก
Example จงรวมพจน์ของ
2. สมบัติการลบ
Example จงรวมพจน์ของ
3. สมบัติของเลขลอการิทึม ที่เท่ากับเลขฐาน
Example จงหาค่าของ
** การนิยามในลอการิทึม จะไม่นิยามให้เป็นจำนวนลบ **4. สมบัติของลอการิทึม 1
* เหตุที่เป็นเช่นนี้ได้เพราะหากว่าเราเขียนกลับจากรูปลอการิทึม
จะได้เลขยกกำลังเป็นแต่ a เป็น - หรือ 0 ไม่ได้
5. สมบัติเลขยกกำลังของลอการิทึม
* คุณสมบัตินี้บอกให้เรานำเลขชี้กำลังของลอการิทึมมาไว้ด้านหน้า เพื่อนำมา
คูณกับเลขลอการิทึม *
Example
6. คุณสมบัติฐานลอการิทึมที่เขียนเป็นเลขยกกำลังได้
Example
7. คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานของลอการิทึม
*คุณสมบัติการเปลี่ยนฐานได้นี้เป็นคุณสมบัติที่สำคัญสำหรับการแก้ปัญหาสมการลอการิทึม คุณสมบัตินี้บอกว่า
หากเราไม่พอใจฐานลอการิทึมที่โจทย์กำหนดมา เราสามารถเปลี่ยนฐานลอการิทึมใหม่ได้ตามต้องการ แต่ต้องมากว่า 0
และไม่เท่ากับ 1 ซึ่งมักเปลี่ยนเป็นฐาน 10
Example จงเปลี่ยนเป็นฐาน 10
*ลอการิทึมฐาน 10 เป็นลอการิทึมที่พบบ่อยและมักจะไม่นิยมเขียนเลขฐานกำกับไว้โดยตกลงว่าเมื่อ เขียนลอการิทึมที่ไม่มีฐานแสดงว่าเป็นลอการิทึมฐาน 10 เรียกว่า “ ลอการิทึมสามัญ ”
สูตรของลอการิทึม
10.เงื่อนไข : ฐานล็อก คือ มากกว่า 0 , ไม่เท่ากับ 1 หลังล็อก คือ มากกว่า 0
1.ก็ต่อเมื่อ
โดย
และ
และ
2.และ
เมื่อ
3.
4.
5.
6.โดยทั่วไปนิยมเปลี่ยนเป็นฐาน 10
7.
8.
9.
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
กราฟของฟังก์ชันลอการิทึม
ฟังก์ชันเพิ่มลอการิทึมจากฐานต่างๆ : สีแดง คือ ฐานe, สีเขียว คือ ฐาน 10 และสีม่วง คือ ฐาน 1.7 แต่ละขีดช่วงบนแกนคือ 1 หน่วย โปรดสังเกตว่าลอการิทึมของทุกฐานจะผ่านจุด (1, 0) (ที่เป็นเช่นนี้ ก็เพราะจำนวนใดๆ (ที่ไม่ใช่ศูนย์) เมื่อยกกำลัง 0 มีค่าเท่ากับ 1)
ลอการิทึม เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฟังก์ชันผกผันของ ฟังก์ชันเอกโปเนนเชียล (ใช้ค่าคงตัว หรือ "ฐาน" เป็นเลขยกกำลัง) ลอการิทึมของจำนวน x ที่มีฐาน b คือจำนวน n นั่นคือ x = bn เขียนได้เป็น
ตัวอย่างเช่น
เพราะว่า
หากเป็นจำนวนเต็มบวก,คือ ผลลัพธ์ของตัวประกอบ
ตัว เท่ากับ
อย่างไรก็ตาม อย่างน้อย หาก เป็นบวก นิยามนี้อาจขยายไปยังจำนวนจริง ใดๆ ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันลอการิทึมอาจนิยามได้สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆ สำหรับฐานบวก อื่นๆ แต่ละฐาน นอกเหนือจาก 1 ในที่นี้ คือ ฟังก์ชันลอการิทึม 1 ฟังก์ชัน และฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล 1 ฟังก์ชัน โดยมันเป็นฟังก์ชันผกผัน
ลอการิทึมนั้นสามารถลดการดำเนินการคูณเป็นการบวก การหารเป็นการลบ ยกกำลังเป็นการคูณ และการถอดรากเป็นการหาร
ดังนั้นลอการิทึมจึงมีประโยชน์สำหรับการดำเนินการกับตัวเลขจำนวนมากให้ง่ายขึ้นและถ้ามีการใช้อย่างแพร่หลายก่อนมีการใช้คอมพิวเตอร์ โดยเฉพาะการคำนวณในด้านดาราศาสตร์ , วิศวกรรมศาสตร์ , การเดินเรือ และการทำแผนที่ โดยมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญ และยังคงใช้ในหลายรูปแบบ
เรนจ์ของฟังก์ชันกราฟของฟังก์ชันจะผ่านจุด (1,0) เสมอ เพราะ
ถ้า
ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จากไปทั่วถึง
โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่าก็ต่อเมื่อ
จากฟังก์ชันลอการิทึมจะได้
โดเมนของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันลด
เรนจ์ของฟังก์ชันกราฟของฟังก์ชันจะผ่านจุด (1,0) เสมอ เพราะ
ถ้า
ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก
โดยอาศัยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ว่า
จากฟังก์ชันลอการิทึมจะได้
โดเมนของฟังก์ชัน
แหล่งอ้างอิง
สำหรับภาพประกอบที่นำมาประกอบเนื้อหานั้นเป็นภาพที่ผู้จัดทำได้จัดทำเอง และมีบางส่วนที่นำมาจากที่อื่นเว็บไซต์ที่จะนำเสนอนี้เป็นการใช้สื่อประกอบการจัดกิจกรรมเรื่องการเรียนรู้เรื่อง ฟังก์ชันลอการิทึม
วิชา คณิตศาสตร์ รหัส ค 40204 และวิชา คอมพิวเตอร์ รหัส ง 40205 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่5/1 เป็นการบูรณาการระหว่างวิชาคณิตศาสตร์ และคอมพิวเตอร์
เว็บไซต์นี้ทำขึ้นเพื่อให้ผู้ที่สนใจ ได้ศึกษาหาความรู้ ค้นคว้าเพิ่มเติมนอกห้องเรียนและมิได้มุ่งหวังเพื่อ
การค้าหรือธุรกิจใดๆ เนื้อหาสาระในเว็บไซต์นี้ได้มาจากการค้นคว้า และรวบรวมข้อมูลในเอกสารตำรา หนังสือและ เว็บไซต์ต่างๆ
ได้แก่ http://www.ipst.ac.th/smath/cir/cir2503.html
http://www.geocities.com/arun_2med/filemath/01.doc
www.tps.ac.th/~nuttaphol/expor&log1.doc
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น